Urs Allenspach absolvierte die Ausbildung zum kaufmännischen Angestellten und schloss diese mit dem Fähigkeitszeugnis sowie der Berufsmaturität ab. 2000 erlangte er den Titel Diplomierter Betriebsökonom FH. Von 2001 bis 2007 studierte er an der Universität Zürich Philosophie, Mathematik und Deutsche Sprachwissenschaft und schloss das Studium mit dem Lizenziat ab. 2012 erlangte er das Lehrdiplom für Maturitätsschulen in Philosophie und Mathematik an der Universität Zürich. Mit der 2013 abgeschlossenen Dissertation an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich erhielt Urs Allenspach den Titel Doktor der Wissenschaften.

Am Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Gymnasium der Kantonsschule Rämibühl in Zürich unterrichtete Urs Allenspach von 2009 bis 2010 als Lehrbeauftragter das Fach Mathematik. Von 2010 bis 2013 war er als Mittelschullehrperson für das Fach Philosophie an der Kantonalen Mittelschule in Uri tätig. Seit 2010 unterrichtet er zudem an der Kantonalen Maturitätsschule für Erwachsene in Zürich, wo er seit 2020 als Prorektor tätig ist.
Der Regierungsrat hat Urs Allenspach nun als neuen Rektor der Kantonsschule Wiedikon gewählt. Er übernimmt auf Beginn des Schuljahres 2023/2024 die Nachfolge von Michel Bourquin, der das Amt als Rektor ad interim innehatte.